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Riemannsche Vermutung

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Die '''Riemannsche Vermutung''' oder '''Riemannsche Hypothese''' (nach Bernhard Riemann) ist eine Annahme über die Nullstellen der Riemannsche Zetafunktion Riemannschen Zetafunktion. Sie besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen dieser komplexwertigen Funktion den Realteil ½ besitzen. Ob die Vermutung zutrifft oder nicht, ist eines der bedeutendsten Ungelöste Probleme der Mathematik ungelösten Probleme der Mathematik.

Die Riemannsche Zetafunktion
Bild:Zeta-Kritisch.png thumb|Betrag der Zetafunktion auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2 Die Riemannsche Zetafunktion ist eine komplexwertige Funktion, die durch die folgende Reihe definiert ist: : \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad ( s \in \mathbb{C} \ \mathrm{und} \ \mathrm{Re}\,(s)>1 ) , Dabei bezeichnet \mathrm{Re}\,(s) den Realteil der komplexen Veränderlichen s. Auch wenn diese Darstellung nur für \mathrm{Re}\,(s) >1 gilt, lässt sich die Funktion auf die gesamte komplexe Ebene mit Ausnahme von s=1 Analytische Fortsetzung analytisch fortsetzen. Im Punkt s = 1 besitzt sie einen einzigen einfachen Polstelle Pol. Eine der wichtigsten Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion ist ihr Zusammenhang mit den Primzahlen. Sie stellt eine Beziehung zwischen komplexer Analysis und analytischer Zahlentheorie her und bildet den Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung. Der folgende Ausdruck stellt den Zusammenhang formelhaft dar als : \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}= \prod_p \left( 1 - \frac{1}{p^s} \right) ^{-1} = \frac1{\left(1-\frac1{2^s}\right) \left(1-\frac1{3^s}\right)\left(1-\frac1{5^s}\right)\cdots} wobei \Pi_p ein unendliches Produkt über alle Primzahlen p darstellt.

Riemannsche Vermutung
Die Zetafunktion besitzt die auf ganz \mathbb C \setminus \{1\} gültige, Meromorph meromorphe Darstellung: :\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)} \left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\sum\limits_{\nu =2}^\infty \frac{B_\nu}{\nu !}\frac{1}{s+\nu-1}+\int\limits_1^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \mathrm dx \right), wobei \Gamma die Gammafunktion Gamma-Funktion und B_\nu die Bernoulli-Zahlen sind. Anmerkung: Bei der hier verwendeten Definition der Bernoulli-Zahlen gilt: B_0=1, B_1=-1/2, B_2=1/6, B_3=0\dots Die Zeta-Funktion hat triviale Nullstellen, die sich aus der Menge der Polstellen der Gamma-Funktion vermindert um die Menge der Polstellen des Klammerausducks durch Aufhebung ergeben. Es handelt sich dabei um die Menge der negativen geraden Zahlen s = -2,\; -4, \; -6, \dots . Eine zentrale Erkenntnis Bernhard Riemann Riemanns in seiner berühmten Arbeit aus dem Jahre 1859 war die Feststellung, dass sich alle möglichen, nichttrivialen Nullstellen in dem Streifen :\{s\in\mathbb C\mid 0<\mathrm{Re}\,(s)<1\} befinden müssen. Die berühmte - und bis heute weder widerlegte noch bewiesene - Vermutung von Bernhard Riemann besagt, dass für alle nichttrivialen Nullstellen gilt: : s = {1\over 2} + \mathrm i\,t \qquad ( t \in \R ) Riemann kam auf seine Vermutung bei der Untersuchung des Produkts der Zetafunktion mit der Gammafunktion, :\xi(s) = \pi^{\left(- \frac {s} {2} \right)} \Gamma \left( \frac {s} {2} \right) \zeta (s) die bei der Vertauschung von s mit (1-s) invariant ist, das heisst sie erfüllt die Funktionalgleichung: :\xi \left( s \right) = \xi \left( 1-s \right) Die Gerade in der komplexen Zahlenebene mit dem Realteil 1/2 ist bei dieser Spiegelung ebenfalls invariant. Er sicherte seine Vermutung ab durch umfangreiche numerische Berechnung der Nullstellen, wie Carl Ludwig Siegel in den 1930er Jahren bei Untersuchung von Riemanns Nachlass herausfand.

Bedeutung
Aus der Riemannschen Vermutung folgt beispielsweise eine Restgliedabschätzung im Primzahlsatz: : \pi(x) = \mathrm{Li}\,x+O(\sqrt x\cdot\log x); dabei ist : \mathrm{Li}\,x=\int_2^x\frac{\mathrm dt}{\log t}. Viele weitere Resultate der analytischen Zahlentheorie, aber auch z.B. für schnelle Primzahltests (wichtig in der Kryptographie), können bisher nur unter Annahme der Riemannhypothese bewiesen werden. In den komplexen Nullstellen der Zetafunktion sind, wie Michael Berry schrieb, die Fluktuationen um die grobe asymptotisch logarithmischen Verteilung der Primzahlen, die der Primzahlsatz beschreibt, kodiert. Kennt man die genaue Verteilung, kann man auch genauere Aussagen über die Wahrscheinlichkeit treffen, wie viele Primzahlen in einem Bereich anzutreffen sind. Die eigentliche Ursache dafür, dass viele Mathematiker so intensiv nach einer Lösung gesucht haben ist aber (abgesehen davon, dass dies die letzte noch unbewiesene Aussage in Riemanns berühmtem Aufsatz ist), dass sich in dieser aussergewöhnlichen perfekten Symmetrie einer ansonsten sehr chaotischen Funktion (z.B. Universalitätssatz von Voronin: die Zetafunktion kann jede beliebige analytische von Null verschiedene Funktion innerhalb eines Kreises vom Radius 1/4 beliebig approximieren) wahrscheinlich die Spitze des Eisbergs einer fundamentalen Theorie verbirgt, so wie sich hinter der Grosser fermatscher Satz Fermatvermutung die Parametrisierung von elliptischen Kurven durch Modulfunktionen verbarg, ein Teil des Langlands-Programms.

Geschichte
Die Riemannsche Vermutung wurde schon 1859 von Bernhard Riemann ohne die explizite Kenntnis auch nur einer im fraglichen Bereich liegenden Nullstelle formuliert. Das Problem wurde im Jahr 1900 von David Hilbert in seiner Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen Liste von 23 mathematischen Problemen als Jahrhundertproblem deklariert. 1903 veröffentlichte Jørgen Pedersen Gram die ersten 15 im kritischen Bereich liegenden Nullstellen. Sie bestätigten die Riemannsche Vermutung ebenso wie alle weiteren Nullstellen, die später gefunden wurden und deren Anzahl Anfang der achtziger Jahre die 100 Millionen-Grenze überschritt. Im Jahr 2001 wurde mit Hilfe von Großrechnern gezeigt, dass die ersten zehn Milliarden Nullstellen der komplexen Zeta-Funktion alle die Riemannsche Vermutung erfüllen, d. h. sie liegen alle auf der Geraden mit Realteil 1/2. Einen weiteren Meilenstein bei der numerischen Suche stellte das im August 2001 gestartete Zeta-Grid-Projekt dar. Mit Hilfe der Methode des Verteiltes Rechnen verteilten Rechnens, an der viele Tausend Internet-Nutzer teilnahmen, wurden nach drei Jahren etwa 1 Billion Nullstellen gefunden. Das Projekt wurde inzwischen eingestellt. Die beiden französischen Mathematiker Gourdon und Demichel starteten mit dem Verfahren von Odlyzko und Schönhage im Jahr 2004 einen neuen Versuch und hatten im Oktober 2004 die ersten 10 Billion Billionen Nullstellen überprüft, ohne ein Gegenbeispiel zu finden. Da im 20. Jahrhundert aber trotz aller Evidenz kein Beweis für die Riemannschen Vermutung gefunden wurde, hat das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 dieses Vorhaben erneut zu einem der wichtigsten mathematischen Probleme erklärt und einen Millennium-Probleme Preis von einer Million US-Dollar auf einen schlüssigen Beweis ausgesetzt, allerdings nicht für ein Gegenbeispiel. Im Juni 2004 hat Louis de Branges de Bourcia zum wiederholten Male einen angeblichen Beweis veröffentlicht, der derzeit kritisch geprüft wird. Derselbe Autor hat allerdings in den letzten Jahren des öfteren Beweise publiziert, die sich als falsch herausstellten. Ob dies auch im aktuellen Fall so ist, muss sich noch zeigen.

Beweisideen aus der Physik
Neue Ideen für den Beweis der Vermutung kamen aus der Physik. Schon David Hilbert und George Polya war aufgefallen, dass die Riemann-Hypothese folgen würde, falls die Nullstellen Eigenwerte eines Operators (1/2 + i T) wären, wobei T ein hermitescher (das heißt selbstadjungierter) Operator ist, der also nur reelle Eigenwerte hat ähnlich wie die Hamiltonoperatoren in der Quantenmechanik. In den 1970er Jahren fand dann Hugh Montgomery bei einer Unterhaltung mit Freeman Dyson, dass die Verteilung der (normalisierten) Abstände aufeinanderfolgender Nullstellen eine ähnliche Verteilung wie die Eigenwerte Unitäre Matrix unitärer Zufallsmatrizen zeigte, was Andrew Odlyzko durch numerische Rechnungen bestätigte. In den 1990er Jahren begannen dann auch Physiker wie Michael Berry, nach einem solchen zugrundeliegenden System zu suchen, etwa in der Theorie des Quantenchaos. Weitere Unterstützung finden diese Überlegungen in einer Analogie der "expliziten Formeln" in der Theorie der riemannschen Zetafunktion mit der Atle Selberg Selberg-Spurformel, die die Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators auf einer Mannigfaltigkeit mit den Längen der geschlossenen Geodäten Kurven in Beziehung setzt, und der Martin Gutzwiller Gutzwiller-Spurformel in der Quantenchaos-Theorie. Diese verbindet die Eigenwerte (Energien) der quantenmechanischen Version eines chaotischen klassischen Systems mit den Längen der periodischen Bahnen im klassischen Fall. Bei all diesen Spurformeln (trace formulas) handelt es sich um Identitäten zwischen den Summen der jeweiligen Nullstellen, Bahnkurven, Eigenwerte usw. Ein vom Fields-Medal Preisträger Alain Connes 1996 im Rahmen seiner "nicht-kommutative Geometrie nicht-kommutativen Geometrie" angegebener Operator passt "fast", Connes konnte aber bisher nicht die Existenz weiterer Nullstellen außerhalb der kritischen Geraden ausschließen. Eine weitere Idee aus der Physik, die in Zusammenhang mit der Riemannvermutung diskutiert wurde, sind die "Chen Ning Yang Yang-Tsung-Dao Lee Lee-Nullstellen" der ins Komplexe analytisch fortgesetzten Zustandssumme in Modellen der statistische Mechanik statistischen Mechanik. Chen Ning Yang Yang und Tsung-Dao Lee Lee bewiesen unter Verwendung eines Resultats von George Polya Polya aus der Theorie der Zetafunktion, auf das sie Mark Kac aufmerksam machte, dass in bestimmten Modellen die Nullstellen auf einem Kreis lagen, bei anderen Modellen liegen sie auf einer Geraden. Die Lage der Nullstellen bestimmt das Verhalten in Phasenübergängen ähnlich, wie die Nullstellen auf der kritischen Geraden die Feinverteilung der Primzahlen steuern. All diesen Ideen liegt eine Analogie zugrunde, die sich vereinfacht etwa so beschreiben lässt: Die Primzahlen sind "Elementarteilchen", die über die Multiplikation in Wechselwirkung treten und so die zusammengesetzten Zahlen aufbauen. Gleichzeitig werden die "Teilchen" durch die Addition angeordnet. In der Zetafunktion werden nun in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv/natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden.

Literatur
* Marcus du Sautoy: ''Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik.'' München: C.H. Beck, 2004; oder: München: dtv (gleicher Titel), 2003, ISBN 3-423-34299-5 (populäre Darstellung der Geschichte der Vermutung) * John Derbyshire: ''Prime obsession- Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics'', Washington 2003 * Harold M. Edwards: ''Riemann's Zeta Function'', Dover 1991 (Erstauflage 1974), ISBN 0-486-41740-9 * Edward Charles Titchmarsh: ''The Theory of the Riemann Zeta-Function'', zweite Auflage Oxford 1987 (bearbeitet von Heath-Brown), ISBN 0198533691.

Weblinks

- ZetaGrid Projekt
- Grafiken der Riemannschen Zeta-Funktion
- Graph der Riemannschen Zeta-Funktion (Animation)
- "The 10^13 first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height" von Xavier Gourdon
- Matthew Watkins Webseiten zu Zusammenhängen mit der Physik, viele gute links
- Connes "Trace formula in non commutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function" 1998
- Clay Mathematics Institut zu Riemannhypothese, mit Faksimile von Riemanns Arbeit, Bombieris Beschreibung der RH
- Math world Artikel zu Riemannhypothese Kategorie:Analysis Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Vermutung (Mathematik) ar:Ù?رضية ريمان ca:Hipòtesi de Riemann en:Riemann hypothesis es:Hipótesis de Riemann fi:Riemannin hypoteesi fr:Hypothèse de Riemann he:השערת רימן hu:Riemann-sejtés it:Ipotesi di Riemann ja:リーマン予想 ko:리만 가설 lt:Rymano hipotezÄ— nl:Riemann-hypothese pl:Hipoteza Riemanna pt:Hipótese de Riemann ru:Гипотеза Римана sv:Riemannhypotesen tr:Riemann Hipotezi vi:Giả thuyết Riemann zh:黎曼猜想

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