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Logik
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Diese Kategorie enthält Artikel aus dem Bereich Logik.
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Bild:Gregor_Reisch%2C_Margarita_Philosophica%2C_Typus_Logice.jpg thumb|300px|[[Gregor Reisch, „Die Logik präsentiert ihre zentralen Themen“, ''Margarita Philosophica'', 1503/08 (?). Die beiden Hunde ''veritas'' und ''falsitas'' jagen den Hasen ''problema'', die Logik eilt mit dem Schwert ''syllogismus'' bewaffnet hinterher. Links unten Parmenides von Elea Parmenides, mit dem die logische Argumentation Einzug in die Philosophie hielt, in einer Höhle.]]
Unter '''Logik''' (Griechische Sprache griech. λογική [Ï„Îχνη] „die denkende [Kunst, Vorgehensweise]“) wird heute im Allgemeinen eine Theorie verstanden, die sich mit den Normen des korrekten Schlussfolgerung (Schluss-)Folgerns beschäftigt. Die Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich ihrer Struktur und abstrahiert dabei vom konkreten Inhalt der in den Schlüssen verwendeten Aussage (Logik) Aussagen. In diesem Sinne spricht man auch von „formaler“ Logik. Die Logik ist sowohl ein Teilgebiet der Philosophie als auch der Mathematik und der Theoretische Informatik Informatik.
Seit dem 20. Jahrhundert versteht man unter Logik überwiegend symbolische Logik. Diese baut auf einer Formale Sprache künstlichen Sprache auf und verwendet streng Definition definierte Schlussregeln. Ein einfaches Beispiel für ein solches formales System (Logik) formales System ist die Aussagenlogik. Die symbolische Logik nennt man auch mathematische oder formale Logik, dabei wird „formal“ aber in einem anderen, engeren Sinne gebraucht als oben. Die Logik hatte nicht immer eine in diesem Sinne formale Struktur, sondern befasste sich in der Antike und im Mittelalter überwiegend mit natürlichsprachlichen Argumenten.
Verschiedene Bedeutungen von „Logik“
In der Geschichte der Philosophie ist die oben dargestellte Verwendungsweise des Ausdrucks „Logik“ erst seit Beginn des 20. Jahrhunderts üblich, obwohl dieser Begriff bereits von dem antiken Stoa Stoiker Zenon von Kition geprägt worden war. Zuvor wurde der Ausdruck vielfach (etwa bei Immanuel Kant oder Georg Wilhelm Friedrich Hegel) sehr viel weiter im Sinne einer Erkenntnistheorie, Ontologie oder einer allgemeinen Dialektik verwendet. Die Logik im modernen Sinne wurde auf der anderen Seite häufig anders bezeichnet, etwa als Analytik, Dialektik oder Logistik. Auch heute noch sind in verschiedenen Disziplinen Wendungen wie ''Logik der Forschung'', ''Logik der Dichtung'' u.ä. verbreitet, bei denen unter „Logik“ keine Theorie des Folgerns verstanden wird, sondern eine Lehre allgemeiner „Gesetze“ oder Verfahrensweisen, die in einem bestimmten Bereich gelten.
Insbesondere in der Tradition der ''Philosophie der normalen Sprache'' wurde unter einer „logischen“ Analyse vielfach eine Analyse Begriff begrifflicher Zusammenhänge verstanden.
In der Umgangssprache werden Ausdrücke wie „Logik“ oder „logisches Denken“ darüber hinaus in einem sehr viel weiteren oder völlig anderen Sinne verstanden und etwa einem „Laterales Denken lateralen Denken“ gegenübergestellt. Ebenso gibt es den Begriff der „Frauenlogik“, „Männerlogik“, der „Affektlogik“ und den Begriff der „Alltagslogik“ – bekannt auch als „gesunder Menschenverstand“ (''common sense'') – in der Umgangssprache. In diesen Bereichen bezieht sich „Logik“ oft auf Formen des Handelns, der Pragmatik. Ein Argument wird umgangssprachlich als „logisch“ bezeichnet, wenn dieses stichhaltig, zwingend, überzeugend, einleuchtend und klar ist. In einem logischen Argument soll die Fertigkeit des Denkens und Begründens zum Ausdruck kommen.
Auch in gegenwärtigen Debatten ist weithin unbestritten, dass die Theorie des korrekten Folgerns den Kern der Logik ausmacht; umstritten ist jedoch, welche Theorien genau noch zur Logik zu rechnen sind und welche nicht. Strittige Fälle sind etwa die Mengentheorie, die Argumentationstheorie (die sich etwa unter pragmatischer Rücksicht mit Fehlschluss Fehlschlüssen beschäftigt) und die Sprechakttheorie.
Geschichte der Logik
Antike
Als Begründer der Logik gilt der Antikes Griechenland antike griechische Philosoph Aristoteles. Er diskutiert in verschiedenen Schriften seines Organon (Aristoteles) Organon Themen wie Begriff, Logische Aussage Aussage, Definition, Beweis (Logik) Beweis und Fehlschluss. In seinem logischen Hauptwerk, der Analytica Priora Ersten Analytik, entwickelt er die Syllogistik, ein Kalkül formales logisches System im modernen Sinn, in dem Argumente starrer Struktur, Syllogismen genannt, untersucht werden. In einem Syllogismus wird aus zwei Aussagen auf eine dritte Aussage geschlossen. Diese Aussagen setzen ihrerseits auf bestimmte Weise Begriffe zueinander in Beziehung; zum Beispiel wird mit Formulierungen wie „P kommt allem S zu“ oder „P wird über alles S ausgesagt“ ausgedrückt, dass alles, was unter den Begriff S fällt, auch unter den Begriff P fällt – in der Sprechweise der mittelalterlichen Syllogistik: „Alles S ist P“. Ein Beispiel für einen gültigen Syllogismus ist das Argument „Kein Rechteck ist ein Kreis. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also ist ist kein Quadrat ein Kreis“. Logische Systeme, in deren Aussagen Begriffe zueinander in Beziehung gesetzt werden, heißen Begriffslogiken.
Gleichfalls auf Aristoteles zurück geht die bereits in seiner Metaphysik (Aristoteles) Metaphysik entwickelte Lehre von einigen fundamentalen Grundsätzen menschlichen Denkens. Hierzu zählen der Satz vom Widerspruch und der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, die in der modernen Logik zwar keine metaphysische Rolle mehr spielen, als logische Gesetze aber innerhalb der Klassische Logik klassischen Logik und auch in manchen nichtklassischen Logiken gelten.
Beim Umgang mit Syllogismen bedient sich Aristoteles moderner Methoden, so führt er Reductio ad absurdum indirekte Beweise und widerlegt er ungültige Syllogismen auf semantische Weise, indem er Gegenbeispiele angibt. Schließlich skizziert er eine Modallogik modallogische Erweiterung seiner Syllogistik mit den logischen Operatoren „notwendig“, „möglich“, „unmöglich“ und „kontigent“. Viele seiner logischen Grundsätze formuliert Aristoteles als Syllogismen, darunter die Transitivität (Mathematik) Transitivität: „Ist A jedem B eigen und B jedem C eigen, so ist A jedem C eigen“ (Modus Barbara).
Unabhängig von der aristotelischen Logik entwickelt sich im Jahrhundert nach Aristoteles in der Megariker megarischen und Stoa stoischen Philosophenschule die zweiwertige Aussagenlogik. Eines der wenigen erhaltenen Fragmente über die megarische Logik schreibt Philon von Megara die älteste Wahrheitstafel zum Implikation#Materiale_Implikation_.28Konditional.29 Konditional zu. Seine Methode führt vor allem der Stoiker Chrysipp weiter; er entwickelt die erste bekannte axiomatische Aussagenlogik mit Junktoren in Kalkülform und prägt die spätere stoische Logik. Sie geht allerdings nach der Antike bis auf Bruchstücke verloren und hat kaum eine historische Wirkung im Vergleich zur aristotelischen Logik. Erst Arbeiten von Jan Å?ukasiewicz Å?ukasiewicz und Benson Mates Mates bringen sie neu ins Bewusstsein.
Mittelalter
Eine weitere bedeutende Epoche für die Logik ist das Mittelalter. Im mittelalterlichen Universitätsbetrieb hat die Logik ihren Platz in der sogenannten „Artistenfakultät“ (''facultas artium''). Das Studium der ''artes'' ist Voraussetzung für das Studium an allen anderen Fakultäten. Ab etwa der Mitte des 13. Jahrhunderts umfasst der Unterrichtsstoff der Logik drei separate Textkorpora. Bei der ''logica vetus'' und der ''logica nova'' handelt es sich um überlieferte logische Schriften, insbesondere das ''Organon (Aristoteles) Organon'' des Aristoteles und die Kommentare des Anicius Manlius Severinus Boëthius Boëthius und des Porphyrius. Die ''parva logicalia'' kann man als Eigenschöpfung der mittelalterlichen Logik ansehen. Hier werden abseits der antiken Vorlagen eine ganze Reihe von neuen Problemstellungen aus dem Grenzbereich zwischen Logik und Semantik entwickelt und in voneinander unabhängigen Traktaten diskutiert. Einige gängige Traktattypen seien kurz vorgestellt:
* ''De proprietatibus terminorum'' befasst sich mit den Eigenschaften der materialen (nicht-logischen) Termini.
* ''De syncategorematicis'' untersucht dagegen die formalen, d.h. logischen Ausdrücke.
* ''De suppositio terminorum'' formuliert die mittelalterliche Suppositionstheorie
* Bei ''De consequentiis'' geht es um Folgerungen.
* ''De insolubilibus'' hat Paradoxon Paradoxien und Trugschlüsse zum Gegenstand.
* ''De Relativis'' befasst sich mit den Eigenschaften Anapher anaphorischer Ausdrücke.
* ''De Modalibus'' untersucht Modalität Modal-Ausdrücke.
* Bei ''De Obligationibus'' geht es um die logischen Bedingungen eines kohärenten Disputs.
Bedeutende mittelalterliche Logiker waren Petrus Abaelardus, William of Sherwood, Petrus Hispanus, Wilhelm von Ockham und Johannes Buridan.
Neuzeit
In der Neuzeit erlahmt zunächst das Interesse an der Logik. Weit verbreitet ist die Ansicht Immanuel Kants, dass das System der Logik mit der Aristotelischen Syllogistik zum Abschluss gekommen wäre, und dass es hier deshalb nichts weiter zu entdecken gäbe. Vielfach erschöpft sich daher die Behandlung des Gegenstandsbereich der Logik in der Vermittlung von Lehrbuchwissen. Ausnahmen sind beispielsweise Gottfried Wilhelm Leibniz oder Gottfried Ploucquet.
Erst Mitte des neunzehnten Jahrhunderts findet die Logik wieder breitere Beachtung, zunächst vor allem in England. Richtungsweisend ist hier George Boole mit dem kürzeren Traktat „The Mathematical Analysis of Logic“ (1847) und seinem späteren Hauptwerk „Laws of Thought“ (1854). Booles Idee ist es, Logik als eine Mathematik aufzufassen, die auf die Werte 0 und 1 (wahr und falsch) beschränkt ist. Auf Klassensymbolen können so Algebra algebraische Operationen wie Addition, Multiplikation usw. ausgeführt werden. Auf diese Weise entwickelt Boole ein vollständiges System der einstelligen Prädikatenlogik, welches die Syllogistik als Subsystem enthält. Zeitgleich mit Boole veröffentlicht Augustus De Morgan sein Werk „Formal Logic“ 1847. De Morgan interessiert sich hier u.a. für eine Verallgemeinerung der Syllogistik auf Aussagen der Form „Die meisten A sind B“. Ein weiterer Logiker in England ist John Venn, der sein Buch „Symbolic Logic“ mit den berühmten Venn-Diagrammen 1881 veröffentlicht. An der logischen Forschung sind außerdem in Amerika Charles Sanders Peirce und in Deutschland Ernst Schröder beteiligt.
Der eigentliche Durchbruch zur modernen Logik gelingt jedoch Gottlob Frege, der wohl als der neben Aristoteles bedeutendste Logiker überhaupt angesehen werden muss. In seiner ''Begriffsschrift'' (1879) stellt er zum ersten Mal eine volle Prädikatenlogik zweiter Stufe vor. Außerdem entwickelt er hier die Idee einer formale Sprache formalen Sprache und darauf aufbauend die Idee des formalen Ableitung (Logik) Beweises, in dem nach Freges Worten nichts „dem Errathen überlassen“ bleibt. Gerade diese Ideen bilden eine ganz wesentliche theoretische Grundlage für die Entwicklung der modernen Computertechnik und Informatik. Freges Werk wird allerdings von seinen Zeitgenossen zunächst kaum wahrgenommen; dies mag u.a. an seiner sehr schwer zu lesenden logischen Notation liegen (siehe auch Begriffsschriftnotation). In den 1893 und 1903 erschienenen beiden Bänden der „Grundgesetze der Arithmetik“ versucht Frege, die gesamte Mathematik in einer Art Mengentheorie zu Axiom axiomatisieren. Dieses System enthält jedoch einen Widerspruch (die sogenannte Russellsche Antinomie), wie Frege in einem berühmt gewordenen Brief von Bertrand Russell aus dem Jahr 1902 erfahren muss.
Russell selbst bleibt es vorbehalten, zusammen mit Alfred North Whitehead in den ''Principia Mathematica'' (1910) die erste widerspruchsfreie mengentheoretische Grundlegung der Mathematik vorzulegen. Die Autoren würdigen Frege im Vorwort, ihm verdankten sie das meiste in „logisch-analytischen Fragen“. Im Gegensatz zu Freges Werk wird die Principia Mathematica ein durchschlagender Erfolg. Einen Grund hierfür kann man u.a. in der von Russell/Whitehead verwendeten Notation sehen, die zu weiten Teilen heute noch üblich ist. Anstöße zu dieser Notation lieferte Giuseppe Peano, ein weiterer bedeutender Logiker des ausgehenden 19. Jahrhunderts, den Russell im Jahre 1900 bei einem Kongress kennen lernte. Neben seinen Gedanken zur logischen Notation ist Peano vor allem für seine Axiomatisierung der Zahlentheorie (die sogenannten Peano-Axiome) bekannt.
Moderne
Das Aussagenlogik aussagenlogische Fragment der „Principia Mathematica“ dient als Ausgangspunkt für die Entwicklung einer ganzen Reihe metalogischer Begriffe. In seiner Habilitationsschrift von 1918 zeigt Paul Bernays (aufbauend auf der Arbeit David Hilberts) Widerspruchsfreiheit, syntaktische und semantische Vollständigkeit und Entscheidbarkeit und untersucht die Unabhängigkeit der Axiome (wobei er feststellt, dass eines der Axiome tatsächlich abhängig, also überflüssig, ist).
Neben der axiomatischen Methode der „Principia“ werden weitere Kalkül Kalkültypen entwickelt. 1934 präsentiert Gerhard Gentzen sein Systeme natürlichen Schließens System des natürlichen Schließens und den Sequenzenkalkül. Hierauf aufbauend entwickelt Evert Willem Beth 1959 den Tableaukalkül. Wiederum an diesem orientiert sich Paul Lorenzen bei seiner Dialogische Logik Dialogischen Logik.
Die moderne Logik bringt außerdem die Entwicklung einer Semantik der Prädikatenlogik mit sich. Eine wichtige Vorarbeit hierzu stellt das berühmte Löwenheim-Skolem-Theorem dar (zuerst bewiesen von Leopold Löwenheim im Jahr 1915, ein allgemeineres Resultat zeigt Albert Thoralf Skolem 1920). Kurt Gödel beweist 1929 die Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe (Gödelscher Vollständigkeitssatz), 1930 die Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). 1933 formuliert Alfred Tarski eine Wahrheitstheorie für die Prädikatenlogik.
Weitere wichtige Ereignisse in der Geschichte der modernen Logik sind die Entwicklung der Intuitionismus Intuitionistischen Logik, der Modallogik, des Lambda-Kalküls, der Typentheorie sowie der Stufenlogik (Logik höherer Stufe). Ein wichtiger Trend in der modernen Logik ist auch die Entwicklung von Maschinengestütztes Beweisen Theorembeweisern (siehe auch Künstliche Intelligenz) sowie die Anwendung von Logik in der Informatik durch Formale Methoden.
Teilgebiete
Klassische Logik
:''Hauptartikel:'' Klassische Logik
Von klassische Logik klassischer Logik bzw. von einem klassischen logischen System spricht man genau dann, wenn folgende semantische Bedingungen erfüllt sind:
# Jede Aussage hat genau einen von genau zwei Wahrheitswerten, die meist als ''wahr'' und ''falsch'' bezeichnet werden. Man nennt dieses Prinzip das Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip.
# Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen und die Art, wie diese zusammengesetzt sind, bestimmt. Dieses Prinzip heißt das Extensionalitätsprinzip Prinzip der Extensionalität oder der Kompositionalität.
Der Begriff ''klassische Logik'' ist mehr im Sinn von etablierter, grundlegender Logik zu verstehen, weil die nichtklassischen Logiken auf sie aufbauen, denn als historischer Verweis. Vielmehr war es so, dass bereits Aristoteles, sozusagen ''der'' klassische Vertreter der Logik, sich sehr wohl mit Mehrwertige Logik mehrwertiger Logik, also nichtklassischer Logik beschäftigt hat.
Die wichtigsten Teilgebiete der formalen klassischen Logik sind die klassische Aussagenlogik, die Prädikatenlogik der ersten Stufe und Logik höherer Stufe, wie sie am Ende des 19. und am Anfang des 20. Jahrhunderts durch Gottlob Frege, Charles Sanders Peirce, Bertrand Russell und Alfred North Whitehead entwickelt wurden. In der Aussagenlogik werden Aussagen daraufhin untersucht, ob sie ihrerseits wieder aus Aussagen zusammengesetzt sind, die durch Junktoren (z. B. „und“, „oder“) miteinander verbunden sind. Besteht eine Aussage nicht aus durch Junktoren verbundenen Teilaussagen, dann ist sie aus Sicht der Aussagenlogik atomar, d. h. nicht weiter zerlegbar.
In der Prädikatenlogik lässt sich auch die innere Struktur von Sätzen darstellen, die aussagenlogisch nicht weiter zerlegbar sind. Dargestellt wird die innere Struktur der Aussagen dabei durch Prädikat_%28Logik%29#Das_Pr.C3.A4dikat_in_der_mathematischen_Logik Prädikate (auch Aussagefunktionen genannt) einerseits und durch deren Argumente andererseits; dabei drückt das Prädikat zum Beispiel eine Eigenschaft aus, die auf sein Argument zutrifft, oder eine Relation, die zwischen seinen Argumenten besteht. Der Begriff der Aussagefunktion ist aus dem mathematischen Begriff der Funktion (Mathematik) Funktion abgeleitet. Eine logische Aussagenfunktion hat genau wie eine mathematische Funktion einen Wert, der aber kein numerischer, sondern ein Wahrheitswert ist.
Der Unterschied zwischen Prädikatenlogik der ersten Stufe und Prädikatenlogik höherer Stufe besteht darin, worüber mittels der Quantoren („alle“, „mindestens ein“) quantifiziert wird: In der Prädikatenlogik erster Stufe wird nur über Individuen quantifiziert (z. B. „Alle Schweine sind rosa“), in der Prädikatenlogik höherer Stufe wird auch über Prädikate selbst quantifiziert (z. B. „Es gibt ein Prädikat, das auf Sokrates zutrifft“).
Formal bedarf die Prädikatenlogik einer Unterscheidung zwischen verschiedenen Ausdruckskategorien wie Termen, Funktoren, Prädikatoren und Quantoren. Diese wird in der Stufenlogik, einer Form des typisierten Lambda-Kalküls, überwunden. Dadurch wird zum Beispiel die Induktion (Mathematik) mathematische Induktion eine gewöhnliche, ableitbare Formel.
Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogismus Syllogistik, die auf Aristoteles zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen. Ein Grundbegriff der Syllogistik ist der Begriff „Begriffe“; er wird dort nicht weiter zerlegt. In der Prädikatenlogik werden Begriffe als einstellige Prädikate ausgedrückt; mit mehrstelligen Prädikaten lässt sich zusätzlich die innere Struktur von Begriffen analysieren und damit die Gültigkeit von Argumenten zeigen, die syllogistisch nicht fassbar sind. Ein häufig zitiertes intuitiv eingängiges Beispiel ist das Argument „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“, das sich erst in höheren Logiken wie der Prädikatenlogik herleiten lässt.
Es ist technisch möglich, die formale Syllogistik des Aristoteles so zu erweitern und zu verändern, dass der Prädikatenlogik gleichmächtige Kalküle entstehen. Solche Unternehmungen sind im 20. Jahrhundert vereinzelt von philosophischer Seite her vorgenommen worden und sind philosophisch motiviert, zum Beispiel aus dem Wunsch heraus, auch rein formal Begriffe als elementare Bestandteile von Aussagen ansehen zu können und sie nicht prädikatenlogisch zerlegen zu müssen. Mehr zu solchen Kalkülen und den philosophischen Hintergründen findet sich im Artikel zur Begriffslogik.
Kalkültypen und logische Verfahren
Die moderne formale Logik widmet sich der Aufgabe, exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und die logische Gültigkeit von Aussagen (semantisch gültige Aussagen heißen Tautologie_(Logik) Tautologien, syntaktisch gültige Aussagen Theoreme) zu entwickeln. Hierzu wurden verschiedene Verfahren entwickelt.
Insbesondere im Bereich der Aussagenlogik (aber nicht nur) sind semantische Verfahren gebräuchlich, also solche Verfahren, die darauf beruhen, dass den Aussagen ein Wahrheitswert zugeschrieben wird. Hierzu zählen einerseits:
* Wahrheitstabellen
Während Wahrheitstabellen eine vollständige Auflistung aller Wahrheitswertkombinationen vornehmen (und insofern auch nur im aussagenlogischen Bereich verwendbar sind), gehen die übrigen (auch prädikatenlogisch verwertbaren) Verfahren nach dem Schema einer Reductio ad absurdum vor: Wenn eine Tautologie bewiesen werden soll, geht man von ihrer Negation aus und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Hier sind drei Varianten gebräuchlich:
* Resolution (Logik) Resolution,
* Baumkalkül Semantische Bäume und
* Beth-Tableaux (nach: Evert Willem Beth)
Zu den logischen Kalkülen, die ohne semantische Bewertungen auskommen, zählen:
* Axiomatische Logikkalküle
* Systeme natürlichen Schließens
* Sequenzenkalküle
* Dialogische Logiken
Nichtklassische Logiken
Von nichtklassischer Logik bzw. einem nichtklassischen logischen System spricht man, wenn mindestens eines der beiden oben genannten klassischen Prinzipien (Zweiwertigkeit und/oder Extensionalität) aufgegeben wird. Wird das Prinzip der Zweiwertigkeit aufgegeben, entsteht Mehrwertige Logik mehrwertige Logik. Wird das Prinzip der Extensionalität aufgegeben, entsteht intensionale Logik. Intensional sind zum Beispiel die Modallogik und die intuitionistische Logik. Werden beide Prinzipien aufgegeben, entsteht mehrwertige intensionale Logik.
=Philosophische Logiken
=
Die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik kann einerseits modifiziert werden, indem man die Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche anreichert. So beschäftigt sich die Modallogik mit Ausdrücken wie „notwendig“ oder „möglich“; die deontische Logik mit „geboten“ oder „erlaubt“; die epistemische Logik mit „wissen“ und „glauben“. Diese Logiken werden häufig als ''philosophische Logiken'' bezeichnet.
= Intuitionismus, Relevanzlogik und konnexe Logik
=
Die meistdiskutierten Abweichungen von der klassischen Logik stellen solche Logiken dar, die auf bestimmte Axiome der klassischen Logik verzichten. Die im engeren Sinne Nicht-klassische Logik nicht-klassischen Logiken sind „schwächer“ als die klassische Logik, d.h. in diesen Logiken sind weniger Argumente gültig als in der klassischen Logik, es sind aber alle dort gültigen Argumente auch klassisch gültig.
Hierzu gehören die von Luitzen Egbertus Jan Brouwer L. E. J. Brouwer entwickelte Intuitionistische Logik, welche das „duplex-negatio“-Axiom (aus der doppelten Negation einer Aussage p folgt p)
:(DN)
nicht enthält, woraufhin der Satz „tertium non datur“ (für jede Aussage p gilt: p oder nicht-p),
:(TND)
nicht mehr ableitbar ist, der Minimalkalkül I. Johanssons, womit der Satz „ex falso quodlibet“ (aus einem Widerspruch folgt eine beliebige Aussage),
:(EFQ)
nicht mehr abgeleitet werden kann, sowie die sich hieran anschließenden Relevanzlogiken, in welchen nur solche Implikationen gültig sind, in denen das Antezedens für das Sukzedens relevant ist. In der Dialogische Logik Dialogischen Logik und in den Sequenzenkalkülen sind sowohl die Klassischen als auch die Nicht-klassische Logik nicht-klassischen Logiken durch entsprechende Zusatzregeln ineinander überführbar.
Auf der anderen Seite sind Logiken zu erwähnen, die Prinzipien enthalten, die klassisch '''nicht''' gültig sind. So gilt etwa in einer Konnexe Logik konnexen Logik – ein Satz, der trotz seiner hohen Plausibilität keine klassische Tautologie (Logik) Tautologie darstellt. Insofern die klassische Logik Maximalkonsistenz maximal-konsistent ist, d.h. insofern jede echte Verstärkung eines klassischen Kalküls zu einem Widerspruch führen wurde, könnte dieser Satz nicht etwa einem klassischen Kalkül als weiteres Axiom hinzugefügt werden; vielmehr müsste ein klassischer Kalkül zunächst schwächer gemacht werden.
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/logic-connexive/ ''Connexive Logic.''}}
= Mehrwertige und Fuzzy-Logik
=
:''Hauptartikel:'' Mehrwertige Logik
Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken, in denen das Prinzip der Zweiwertigkeit und oft auch der aristotelische Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gelten, darunter die dreiwertige und die unendlichwertige Logik von Jan Å?ukasiewicz („Warschauer Schule“). Zahlreiche Anwendungen in der Steuerungstechnik findet die unendlichwertige Fuzzy-Logik, während etwa die endlichwertige Logik von Gotthard Günther („Günther-Logik“) auf Probleme der Selbsterfüllende Prophezeiung sich selbst erfüllende Voraussagen in der Soziologie angewandt wurde.
= Nichtmonotone Logiken
=
Man nennt ein logisches System monoton, wenn jedes gültige Argument auch dann gültig bleibt, wenn man zusätzliche Prämissen hinzufügt: Was einmal bewiesen wurde, bleibt in einer monotonen Logik immer gültig, also auch dann, wenn man zu einem späteren Zeitpunkt über neue Informationen verfügt. Sehr viele logische Systeme haben diese Monotonie (Logik) Monotonie-Eigenschaft, darunter alle klassischen Logiken wie die Aussagen- und die Prädikatenlogik.
Im alltäglichen und auch wissenschaftlichen Schließen werden jedoch oft vorläufige Schlussfolgerungen gezogen, die im streng logischen Sinn nicht gültig sind und die unter Umständen zu einem späteren Zeitpunkt revidiert werden müssen. Zum Beispiel ließe sich aus den Aussagen „Tux ist ein Vogel“ und „Die meisten Vögel können fliegen“ vorläufig darauf schließen, dass Tux fliegen kann. Wenn wir nun aber die zusätzliche Information „Tux ist ein Pinguin“ erhalten, dann müssen wir diesen Schluss korrigieren, denn Pinguine sind nicht flugfähige Vögel. Um diese Art des Schließens abzubilden wurden nichtmonotone Logiken entwickelt: Sie verzichten auf die Monotonie-Eigenschaft, das heißt ein gültiges Argument kann durch das Hinzufügen weiterer Prämissen ungültig werden.
Dies ist freilich nur möglich, wenn eine andere Konsequenzoperation als in einer klassischen Logik verwendet wird. Ein gängiger Ansatz besteht darin, so genannte ''Defaults'' zu verwenden. Ein Default-Schluss ist dann gültig, wenn sich nicht aus einem klassisch-logischen Schluss ein Widerspruch zu ihm ergibt.
Die Schlussfolgerung aus dem gegebenen Beispiel würde dann so aussehen: „Tux ist ein Vogel“ bleibt die ''Voraussetzung'' (prerequisite). Wir kombinieren diese nun mit einer so genannten ''Rechtfertigung'' (justification): „Vögel können normalerweise fliegen.“ Aus dieser Begründung schließen wir, dass Tux fliegen kann, solange nichts dagegen spricht. Die ''Konsequenz'' lautet also „Tux kann fliegen.“ Erhalten wir nun die Informationen „Tux ist ein Pinguin“ und „Pinguine können nicht fliegen“, so ergibt sich ein Widerspruch. Über den Default-Schluss sind wir zu der Konsequenz gelangt, dass Tux fliegen kann. Mit einer klassisch-logischen Schlussweise aber konnten wir nachweisen, dass Tux nicht fliegen kann. In diesem Fall wird der Default revidiert und die Konsequenz des klassisch-logischen Schlusses weiterverwendet. Dieses – hier grob beschriebene − Verfahren wird auch als ''Reiter'sche Default-Logik'' bezeichnet.
:{{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/logic-nonmonotonic/}}
Wichtige Autoren
* Aristoteles (384-322 v.u.Z.):
:In der Analytica Priora Entwicklung der bis ins 19. Jahrhundert verwendeten Syllogismus Syllogistik, einer Vorform der Prädikatenlogik.
* Cicero (106-43 v.u.Z.):
:Er übernahm von Aristoteles die Lehre von der Logik und übertrug sie als Ars logica ins Lateinische: ''De finibus bonorum et malorum''.
* Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716):
:Erste Ansätze zu einer symbolischen Logik
* George Boole (1815-1864):
:Entwicklung der Boolesche Algebra Booleschen Algebra.
* Charles Sanders Peirce (1839-1914):
:Erste Ansätze zur Quantorenlogik, Einführung der Relationslogik, Formulierung einer Theorie der Abduktion (Wissenschaftstheorie) Abduktion.
* Georg Cantor (1845-1918):
:Entwicklung der Mengenlehre.
* Gottlob Frege (1848-1925):
:Entwicklung der modernen Aussagen- und Prädikatenlogik. Kritik des Psychologismus.
* Edmund Husserl (1859-1938):
:Kritik des Psychologismus in der Logik
* Bertrand Russell (1872-1970):
:Entdeckte die Russellsche Antinomie.
* Jan Å?ukasiewicz (1878-1956):
:Entwickelte die Polnische Notation, beschäftigte sich mit mehrwertiger Logik
* Alfred Tarski (1901-1983):
:Herausragend sind seine Arbeiten zur Modelltheorie und zur formalen Semantik
* Kurt Gödel (1906-1978):
:Vollständigkeit der Prädikatenlogik. Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.
''Siehe auch:'' :Kategorie:Logiker
Siehe auch
Abstraktion, Formale Sprache Theorie formaler Sprachen, Semantik, :Kategorie:Logik
Klassische Werke
* Aristoteles: ''Lehre vom Schlusz oder erste Analytik.'' 3. Auflage. Meiner, Hamburg 1922, ISBN 3-7873-1092-4
* Gottlob Frege: ''Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens.'' Halle/Saale 1879. Auszugsweise abgedruckt z.B. in: Karel Berka, Lothar Kreiser: ''Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik.'' 4. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1986.
* Gottlob Frege, Günther Patzig (Hrsg.): ''Logische Untersuchungen.'' 3. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1986, ISBN 3-525-33518-0
* Giuseppe Peano: ''Notations de logique mathématique.'' Turin 1894.
* Charles Sanders Peirce: ''On the algebra of Logic. A contribution to the philosophy of notation.'' The American Journal of Mathematics 7, 1885
* Jan Å?ukasiewicz: ''Logika dwuwartoÅ›ciowa'', PrzeglÄ…d Filosoficzny, 23, 1921, S. 189ff.
* Jan Å?ukasiewicz, L. Borkowski (Hrsg.): ''Selected Works.'' PWN, Warschau 1970.
* Alfred North Whitehead; Bertrand Russell: ''Principia Mathematica.'' Cambridge 1910–1913, 2. Aufl. 1925–1927.
* Willard Van Orman Quine: ''Grundzüge der Logik.'' 6. Auflage. Suhrkamp, Frankfurt am Main 1988, ISBN 3-518-27665-4
* Alfred Tarski: ''Einführung in die mathematische Logik.'' 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1977, ISBN 3-525-40540-5
Literatur
{{Philosophiebibliographie1|Logik}}
*Karel Berka, Lothar Kreiser: ''Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik.'' 4. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1986.
;Geschichte der Logik
* Ernst Kapp: ''Der Ursprung der Logik bei den Griechen.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1965, 1994. ISBN 3-525-33228-9
* William Kneale, Martha Kneale: ''The Development of Logic.'' Clarendon Press, 1962, ISBN 0-19-824773-7.
* Benson Mates: ''Stoic Logic.'' University of California, Berkeley 1953, ISBN 0-608-11119-8 (englisch) ([http://wwwlib.umi.com/bod/fullcite?id=118620 Books on Demand])
* Wilhelm Risse: ''Die Logik der Neuzeit'' 2 Bde., Frommann, Stuttgart-Bad Cannstatt 1964, 1970.
;Logische Propädeutik
* Ernst Tugendhat, Ursula Wolf: ''Logisch-semantische Propädeutik.'' Nachdruck. Reclam, Stuttgart 2001, ISBN 3-15-008206-4 ''(RUB 8206)''
* Wilhelm Kamlah, Paul Lorenzen: ''Logische Propädeutik. Vorschule des vernünftigen Redens.'' 3. Auflage. Metzler, Stuttgart u. a. 1996, ISBN 3-476-01371-5
;Formale Logik in der Philosophie
* Jon Barwise, John Etchemendy: ''The Language of First-Order Logic.'' CSLI Center for the Study of Language and Information, Leland Stanford Junior University 1991, ISBN 0-937073-74-1
* Ansgar Beckermann: ''Einführung in die Logik.'' 2. Auflage. De Gruyter, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-11-017965-2
* Paul Hoyningen-Huene: ''Formale Logik. Eine philosophische Einführung''. Reclam, Stuttgart 1998 (ISBN 3-15-009692-8)
* Rüdiger Inhetveen: ''Logik. Eine dialog-orientierte Einführung.'' Ed. am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, ISBN 3-937219-02-1
* Franz von Kutschera, Alfred Breitkopf: ''Einführung in die moderne Logik.'' 7. Auflage. Alber, Freiburg 2000, ISBN 3-495-47977-5
* E. J. Lemmon: ''Beginning Logic.'' 2. Auflage. Chapman and Hall, London 1987, ISBN 0-412-38090-0
* Benson Mates: ''Elementare Logik. Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität.'' 2. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1978, ISBN 3-525-40541-3
* Wesley C. Salmon: ''Logik.'' Reclam: Stuttgart 1983, ISBN 3-15-007996-9
* Thomas Zoglauer: ''Einführung in die formale Logik für Philosophen.'' 3. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2005, ISBN 3-8252-1999-2, ISBN 3-525-03293-5 ''(UTB für Wissenschaft Bd. 1999)''
;Formale Logik in der Mathematik
* Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: ''Einführung in die mathematische Logik.'' 4. Auflage. Spektrum, Akademie, Heidelberg u. a. 1998, ISBN 3-8274-0130-5 ''(Spektrum-Hochschultaschenbuch)''
* Wolfgang Rautenberg: ''Einführung in die Mathematische Logik. Ein Lehrbuch.'' 2. Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-16754-8
* Donald W Barnes, John M. Mack: ''An Algebraic Introduction to Mathematical Logic.'' Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-90109-4. (Ein sehr mathematischer Zugang zur Logik.)
;Formale Logik in der Informatik
* Uwe Schöning: ''Logik für Informatiker.'' 5. Auflage. Spektrum, Akademie, Heidelberg u. a. 2000, ISBN 3-8274-1005-3 ''(Spektrum-Hochschultaschenbuch)''
* Bernhard Heinemann, Klaus Weihrauch: ''Logik für Informatiker. Eine Einführung.'' 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-12248-0 ''(Leitfäden und Monographien der Informatik)''
;Hilfsmittel
* Nikolaj I. Kondakov: ''Wörterbuch der Logik.'' 2. Auflage. Bibliographisches Institut, Leipzig 1983.
* Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie.'' 4 Bände, Bibliographisches Institut, Mannheim u.a. 1980-1996, ISBN 3-411-01603-5
Weblinks
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{{Wikibooks|Mathematik: Logik}}
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;Geschichte
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/logic-ancient/ ''Ancient Logic.''}}
- Logik im 19. Jahrhundert
- Geschichte der Logik von 1900 bis 1935
- Modern Interpretation of Ancient Logic
;Allgemein
- Ausführliche Einführung in die Logik. Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität
- Lexikon der Philosophie: Logik
- Logiksoftware für Unterrichtszwecke
- Introduction to Computational Logic (Skripte, englisch)
- Achim Wagenknecht: Eine ganz kurze Einführung in die Logik
- Online-Logik-Kurse
- Crashkurs Aussagen- und Prädikatenlogik
- Externe Links zu Autoren / Forscher / Klassiker
- Immanuel Kant: Logik – eine heute veraltete Darstellung auf dem Stand des Jahres 1800
- Universität Bern -Logik mit Übungen - Script für eine Logikvorlesung an der Uni Bern in 12 Lektionen mit Online-Test zu jeder Lektion
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