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Laplace-Transformation

*** Shopping-Tipp: Laplace-Transformation

Die '''Laplace-Transformation''' (benannt nach Pierre-Simon Laplace) ist eine Integraltransformation, die eine gegebene Laplace-Transformation#Formale_Definition kausale Funktion ''f''(''t'') vom reellen Zeitbereich (''t'' = Zeit) in eine Funktion ''F''(''s'') im komplexen Spektralbereich (Frequenzbereich; Bildbereich) überführt. Die Laplace-Transformation und deren Inversion sind ausgesprochen wirkungsvolle Verfahren zur Lösung vieler Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik, welche mathematisch durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. Die Laplace-Transformation gehört zur Klasse der Funktionaltransformationen, spezieller zu den Integraltransformationen, und kann als Modifizierung der Fourier-Transformation aufgefasst werden. Die Laplace-Transformation bildet reellwertige Originalfunktionen auf komplexwertige Bildfunktionen ab. Die wichtigste Eigenschaft der Laplace-Transformation besteht nun darin, dass der Differentiation und Integration im reellen Originalbereich einfache algebraische Operationen im Bildbereich entsprechen. Bei vielen Anfangs- und Randwertproblemen spielt der Zeitbereich die Rolle des reellen Originalbereiches und der Frequenzbereich oder Spektralbereich diejenige des komplexen Bildbereiches. Die Untersuchung der Bildfunktion liefert häufig wesentlich bessere physikalische Einblicke in das Verhalten linearer Systeme bei Anregung durch Kausalfunktionen gegenüber Studien im Zeitbereich. Vor allem das Resonanzverhalten physikalischer Systeme kann im Frequenzbereich einfacher beschrieben werden. Gegenüber der (kontinuierlichen) Fourier-Transformation bietet die Laplace-Transformation hierbei den Vorteil, dass die Laplace-Transformierte in vielen Fällen noch existiert, wenn das Fourier-Integral bereits divergiert (bei Übertragungsfunktionen beispielsweise dann, wenn sich ein System instabil verhält). Bei zeitdiskreten Systemen führt die Laplace-Transformation zur Z-Transformation.

Formale Definition
Die formale Definition für die Laplace-Transformation lautet: : F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt. \qquad (\textrm{mit:\quad} s = \sigma + \mathrm{i} \omega; \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 ) Die Funktion ''F''(''s'') wird auch Laplace-Transformierte der Funktion ''f''(''t'') genannt. ''Kausal'' bedeutet in diesem Zusammenhang, dass f(t) für Zeiten t<0 verschwindet. Für den Fall s = i\omega entsteht der Sonderfall der einseitigen Fourier-Transformation: ::F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} ::::= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega} ::::= \int_{0}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.

Existenz
Gibt es reelle Konstanten ''M1'', ''M2'', ''s0'', und ''T'', so dass die reelle Zeitfunktion ''f''(''t'') den Ungleichungen : \int_{0}^{T} |f(t)| dt \le M_1 und : |f(t)| \le M_2 e^{s_0t}     für     t\ge T genügt, so existiert das Laplace-Integral in der Konvergenzhalbebene \operatorname{Re}(s)\ge s_0 . Beispiele von Funktionen, deren Laplace-Integral existiert: siehe Korrespondenztabellen 3 und 4 Beispiele von Funktionen, deren Laplace-Integral nicht existiert: Die Funktion \frac{1}{t} erfüllt die erste Bedingung nicht und besitzt daher keine Laplace-Transformierte. Die Funktion f(t)= e^{t^{2}} erfüllt die zweite Bedingung nicht, ist somit nicht von exponentieller Ordnung und besitzt daher ebenfalls keine Laplace-Transformierte.

Laplace-Rücktransformation
Eine universelle Methode zur Ermittlung der Zeitfunktion ''f''(''t'') zu einer gegebenen Spektralfunktion ''F''(''s'') stellt das Lösen des '''Bromwich-Integrals''' dar. ''f''(''t'') ist hierbei gegeben durch : f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i \infty}^{ \gamma + i \infty} e^{st} F(s)\,ds \qquad \gamma>\max_i\operatorname{Re}(z_i), wobei z_i die Singularitäten von F sind. Da hier über eine Komplexe Zahl komplexe Variable integriert wird, muss die Rücktransformation mit den Methoden der Funktionentheorie gelöst werden. Bekannte Lösungen der Rücktransformationen sind in der Literatur in Korrespondenztabellen zusammengefasst. In der Praxis muss daher die Spektralfunktion meist nur auf diese tabulierten Fälle zurückgeführt werden, z.B. durch Partialbruchzerlegung. Als Beispiel die Rücktransformation gebrochen rationaler Funktionen: Für die Spektralfunktion : F(s) = \sum_{i=1}^n \frac{\alpha_i}{s-s_i} lässt sich mit (der tabulierten, hier exemplarisch berechneten Korrespondenz) : \mathcal{L}\{e^{a t}\} = \int_0^\infty e^{at}\ e^{-s t}\ \mathrm dt =\left.\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right|_0^\infty=\frac{1}{s-a} die Rücktransformierte direkt angeben als : f(t) = \sum_{i=1}^n \alpha_i e^{s_i t} Im Fall komplex konjugierter Pole sind Vereinfachungen von f(t) durch Anwendung trigonometrischer Identitäten möglich.

Wichtige Anwendungen
Allgemein bietet sich die Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssystemen an. Der Vorteil ist hierbei die Algebraisierung: Ableitungen im Bildbereich entstehen als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s. Diese bewirkt, dass: *gewöhnliche Differentialgleichungen im Originalbereich auf algebraische Gleichungen im Bildbereich, *partielle Differentialgleichungen mit ''n'' unabhängigen Variablen im Originalbereich auf partielle (bzw. gewöhnliche) Differentialgleichungen mit ''n-l'' unabhängigen Variablen im Bildbereich, *und Integralgleichungen vom Faltungstyp im Originalbereich auf algebraische Gleichungen im Bildbereich abgebildet werden. Die Lösungen der transformierten Probleme lassen sich im Bildbereich wesentlich einfacher erarbeiten als im Originalbereich. Besonders effizient eigenet sich die Laplace-Transformation dazu, lineare Differentialgleichungen oder Anfangswertprobleme mit konstanten Koeffizienten zu lösen, da hier im Bildbereich ein lineares Gleichungssystem entsteht. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück. An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass das gewonnene Ergebnis ausschließlich Aussagen für den Zeitraum ab t = 0 liefert, da die Laplace-Transformierte durch die Integration ab t = 0 bestimmt wird. Der Nachteil ist die im Allgemeinen meist komplizierte Rücktransformation. In der Elektrotechnik und speziell in der Regelungstechnik spielt die Laplace-Transformation vor allem aufgrund des Faltungssatzes eine große Rolle. Da das Verhalten des Systemausgangs sich im Spektralbereich als Produkt der Eingangsfunktion und einer dem System eigenen, von der jeweiligen Anregung unabhängigen Übertragungsfunktion darstellen lässt, lassen sich viele Systemeigenschaften durch Untersuchung der Übertragungsfunktion bestimmen (die man wiederum durch einfache Verknüpfungen elementarer Übertragungsfunktionen erhält), ohne eine explizite Lösung der System-Differentialgleichung, beispielsweise durch Rücktransformation, zu bestimmen. Elegant möglich ist dadurch beispielsweise die Stabilitätsanalyse und Analyse des Schwingungsverhaltens (Dämpfung), der Schnelligkeit sowohl von Regelstrecken als auch von geschlossenen Regelkreisen. Da die Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich für s = j\omega in eine Übertragungsbereich im Fourier-Bereich übergeht, lassen sich zu guter Letzt auch graphische Darstellungen des Übertragungsverhaltens, sprich Amplituden- und Phasenfrequenzgänge (Bode-Diagramme) gewinnen.

Wichtige Eigenschaften der Laplace-Transformation


Linearitätssatz
Sind f_1(t) und f_2(t) kausale Zeitfunktionen mit den Laplace-Transformierten \mathcal{L}\{f_1(t)\} und \mathcal{L}\{f_2(t)\} , so ergibt die Laplace-Transformation deren Linearkombination infolge Linearität der Integration : \mathcal{L}\{a_1 f_1(t) + a_2 f_2(t)\} =\int_{0}^{\infty } e^{-st} (a_1 f_1(t)\ + a_2 f_2(t))\,dt = a_1 \int_{0}^{\infty } e^{-st} f_1(t)\,dt + a_2 \int_{0}^{\infty } e^{-st} f_2(t)\,dt und somit ist die Laplace-Transformation linear : \mathcal{L}\{a_1 f_1(t)\ + a_2 f_2(t)\} = a_1 \mathcal{L}\{f_1(t)\} + a_2 \mathcal{L}\{f_2(t)\}. Allgemein gilt für kausale Zeitfunktionen f_k(t) die lineare Beziehung : \mathcal{L}\left\lbrace\sum_{k=1}^{n}a_k f_k(t)\right\rbrace =\sum_{k=1}^{n}a_k \mathcal{L}\{f_k(t)\}.

Verschiebungssatz
: \mathcal{L}\{f(t-a)\} = \mathrm{e}^{-as} \mathcal{L}\{f(t)\} = \mathrm{e}^{-as}F(s) \qquad (t \ge a > 0) : \mathcal{L}\{f(t+a)\} = \mathrm{e}^{as} \left(F(s)-\int_0^af(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t \right) \qquad (t \ge a > 0)

Ähnlichkeitssatz
: \mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) \qquad (a > 0)

Dämpfungssatz
: \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-at}f(t)\} = F(s + a) \qquad (a \in \mathbb{C}) : \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{at}f(t)\} = F(s - a) \qquad (a \in \mathbb{C})

Multiplikationssatz
: \mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n F^{(n)}(s) \qquad (n = 1, 2, \dots)

Divisionssatz
: \mathcal{L}\left\{ \frac{1}{t} f(t) \right\} = \int_s^\infty F(q) \mathrm{d}q

Differentiationssatz
: \mathcal{L}\{f'(t)\} = s F(s) - f(0^+) : \begin{matrix} \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} &=& s^n F(s) - s^{n-1} f(0^+) - s^{n-2} f'(0^+) - \dots - f^{(n-1)}(0^+) \\ &=& s^n F(s) - \sum_{v=1}^n s^{n-v}f^{(v-1)}(0^+) \end{matrix}

Integrationssatz
: \mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(q)\mathrm{d}q \right\} = \frac{1}{s} F(s)

Faltung (Mathematik) Faltungssatz
: \mathcal{L}\{ f_1(t) * f_2(t) \} = F_1(s) \cdot F_2(s)= \mathcal{L}\left\{\int_0^t f_1(u)f_2(t-u)\mathrm{d}u\right\} : \mathcal{L}\{ f_1(t) \cdot f_2(t) \} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}}\int_{c-\mathrm{i}\infty}^{c+\mathrm{i}\infty} F_1(\sigma)F_2(s-\sigma)\mathrm{d}\sigma

Periodische Funktion
: \mathcal{L}\{ p(t) \} = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_0^T p(\tau)\cdot e^{-s\tau} d\tau wobei ''T'' die Periode der Funktion ''p''(''t'') darstellt.

Grenzwertsätze
: \lim_{s \to 0+} s \cdot F(s) = \lim_{t \to \infty} f(t) : \lim_{s \to \infty} s \cdot F(s) = \lim_{t \to 0+} f(t) Der erste Grenzwertsatz gilt nur, wenn F(s) keine Singularitäten in der Halbebene Re[s] > 0 besitzt.

Eindeutigkeit der Laplace-Transformation
Wenn für zwei Zeitfunktionen f(t) und g(t) die Voraussetzungen gelten: * f(t) und g(t) sind stückweise stetig * f(t) und g(t) sind von exponentieller Ordnung für t \to \infty und t \to -\infty * die Laplace-Transformierten F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} und G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} existieren und besitzen überlappende Konvergenzbereiche in der s-Ebene * F(s) = G(s) im Konvergenzbereich dann ist f(t) = g(t) überall dort, wo f und g stetig sind. Vergleiche: Satz_von_Lerch Eindeutigkeitssatz von Lerch ''Siehe auch:'' Fourier-Transformation, Faltung (Mathematik) Faltung

Analytische Eigenschaften


Analytizität
Die Laplace-Transformierte ist infolge der Existenz ihrer Ableitungen nach der komplexen Frequenz s im Bildbereich : F^{(n)}(s)= \mathcal{L}\{(-t)^n f(t)\}\qquad (n = 1, 2,3, \dots) im Innern der Konvergenzhalbebene beliebig oft komplex differenzierbar, das heißt analytisch (regulär, holomorph). Somit gelten für F(s) die Prinzipien der Funktionentheorie. Die Funktion F(s) ist in die linke Halbebene analytisch fortsetzbar. Mit Ausnahme isolierter Singularitäten und Verzweigungsschnitte ist diese analytische Fortsetzung in der ganzen komplexen Bildebene analytisch.

Konjugierte Symmetrie
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Laplace-Transformierten reeller Zeitfunktionen ist die konjugierte Symmetrie im komplexen Bildbereich : F(\bar s)= \bar F(s) oder separiert in Real- und Imaginärteil :\operatorname{Re}( F(\bar s))= \operatorname{Re}( F(s)) :\operatorname{Im}( F(\bar s))=- \operatorname{Im}( F(s)) wobei der Überstrich die komplex konjugierte Größe kennzeichnet. Aufgrund dieser Eigenschaft genügt es, die Bildfunktion in der oberen Halbebene \operatorname{Im}(s)>0 zu studieren.

Endliche Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation bildet eine endliche Zeitfunktion : f(t)=0 für \begin{cases} t<0 \\ t>T \end{cases} auf eine ganze Funktion ab. Dies bedeutet, dass die Bildfunktion :F(s) = \int_{0}^{T} f(t) e^{-st} \,dt in der ganzen komplexen Frequenzebene analytisch ist und dort keine Singularität (Mathematik) Singularitäten besitzt.

Physikalische Dimension
Bei Anwendungen der Laplace-Transformation ist auch die Dimension der Laplace-Transformierten : F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt \qquad (\textrm{mit:\quad} s = \sigma + \mathrm{i} \omega; \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 ) von Interesse. Die komplexe Frequenz besitzt die Dimension s^{-1}. Der Ausdruck e^{-st} im Integranden ist somit dimensionslos. Durch die Integration über den Zeitbereich wird die Dimension der Zeitfunktion ''f''(''t'') mit der Dimension des Zeitdifferentials ''dt'' modifiziert: : [F(s)] =[f(t)] [t] =[f(t)] s . Beispielsweise besitzt die Laplace-Transformierte eines Stroms : I(s) = \mathcal{L} \left\{i(t)\right\} =\int_{0}^{\infty} e^{-st} i(t)\,dt die Dimension einer Ladung As = C.

Historische Notizen
Die ersten Hinweise auf die Idee der Laplace-Transformation finden sich bereits in den Arbeiten des Basler Mathematikers und Physikers Leonhard Euler (1707-1783, Institutiones calculi integrali, vol. 2, 1768). Benannt wird die Laplace-Transformation nach dem französischen Mathematiker und Astronomenen Pierre-Simon Laplace (1749-1827), der die Transformation 1782 im Rahmen von Wahrscheinlichkeitsstudien einführte. Ungefähr hundert Jahre später wandte der britische Elektroingenieur und Physiker Oliver Heaviside (1850-1925) die Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen in der theoretischen Elektrotechnik an. Der deutsche Mathematiker Gustav Doetsch (1892-1977) erarbeitete die mathematischen Grundlagen der Laplace-Transformation und führte diese einer breiten Anwendung zur Lösung vieler Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik zu, welche durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. In neuester Zeit finden sich Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation häufig in Lehrbüchern der theoretischen Elektrotechnik und vor allem in Büchern über gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Eigentlich sollte die Laplace-Transformation Petzval – Transformation heißen. Der ungarische Mathematiker Josef Maximilian Petzval Józeph Miksa Petzval (1807-1891) war der erste, der sie systematisch untersuchte, wohingegen Laplace sie nur zur Lösung seiner Probleme anwandte. Jedoch fand das Werk von Petzval keine Beachtung, unter anderem, weil ihn einer seiner Studenten zu Unrecht des Plagiats an Laplace bezichtigt hatte.

Korrespondenztabellen


Allgemeine Eigenschaften
{| class="prettytable" ! style="background-color:#AAEECC;"| Allgemeine Eigenschaft
bzw. Operation ! style="background-color:#AAEECC;"| Originalfunktion
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} ! style="background-color:#AAEECC;"| Bildfunktion
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} |----- align="center" | Linearität | a_{1}f_{1}(t)+a_{2} f_{2}(t)\, | a_{1}F_{1}(s)+ a_{2} F_{2}(s)\, |----- align="center" | Ähnlichkeitssatz | f(at) \, | \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) \qquad (a > 0) \, |----- align="center" | Verschiebung im Originalbereich | f(t-a)\ \, | e^{-as}F(s) \, |----- align="center" | Verschiebung im Bildbereich | e^{-at}\cdot f(t) \, | F(s + a) \qquad (a \in \mathbb{C})) \, |----- align="center" | Sinus-Multiplikation | \sin(at)\cdot f(t)\, | \frac{1}{2i} \cdot (F(s-ia) - F(s+ia)) |----- align="center" | Cosinus-Multiplikation | \cos(at)\cdot f(t)\, | \frac{1}{2} \cdot (F(s-ia) + F(s+ia)) |----- align="center" | | \sinh(at)\cdot f(t)\, | \frac{1}{2} \cdot (F(s-a) - F(s+a)) |----- align="center" | | \cosh(at)\cdot f(t)\, | \frac{1}{2} \cdot (F(s-a) + F(s+a)) |----- align="center" | 1. Differentialrechnung Ableitung im Originalbereich | f'(t) \, | sF(s)-f(0) \, |----- align="center" | 2. Differentialrechnung Ableitung im Originalbereich | f''(t) \, | s^{2}F(s)-sf(0)-\dot f(0) \, |----- align="center" | n^{te} Differentialrechnung Ableitung im Originalbereich | f^{(n)} (t) \, | s^{n}F(s)- \sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)} (0) s^{n-k-1} \, |----- align="center" | 1. Differentialrechnung Ableitung im Bildbereich | -tf(t) \, | F^\prime (s)\, |----- align="center" | 2. Differentialrechnung Ableitung im Bildbereich | t^{2}f(t) \, | F^{\prime\prime}(s)\, |----- align="center" | n^{te} Differentialrechnung Ableitung im Bildbereich | (-t)^{n}f(t)\, | F^{(n)}(s)\, |----- align="center" | Integralrechnung Integration im Originalbereich | \int_0^t f(u)\,du | \frac{1}{s} F(s) |----- align="center" | Integralrechnung Integration im Bildbereich | \frac{1}{t} f(t) | \int_s^{\infty} F(u)\,du |----- align="center" | Faltung (Mathematik) Faltung im Originalbereich
Multiplikation im Bildbereich | \int_0^t f(u)\,g(t-u)\,du | F(s) \,G(s) |----- align="center" | Multiplikation im Originalbereich
Faltung (Mathematik) Faltung im Bildbereich | f(t) \,g(t) | \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}}\int_{c-\mathrm{i}\infty}^{c+\mathrm{i}\infty} F(\sigma) \,G(s-\sigma)\mathrm{d}\sigma |----- align="center" | Periodische Funktion | f(t)=f(t+T) \, | \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_0^T f(t)\cdot e^{-st} dt |----- align="center" |}

Korrespondenztabelle
{| class="prettytable" ! style="background-color:#AAEECC;"| Funktionsname ! style="background-color:#AAEECC;"| Originalfunktion
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} ! style="background-color:#AAEECC;"| Bildfunktion
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} ! style="background-color:#AAEECC;"| Konvergenz-
bereich |----- align="center" | Delta-Distribution Dirac’sche Deltafunktion
Einheitsimpuls | \delta(t)\,

\delta^{(n)}(t)\, | 1\,

s^{n}\, | s \in \mathbb{C}\, |----- align="center" | Heaviside-Funktion Heaviside’sche Sprungfunktion
Einheitssprung | 1\, | \frac{1}{s} | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | Exponentialfunktion | e^{-at}\, | \frac{1}{s+a} | \operatorname{Re}(s)> -a |----- align="center" |n-te Potenz_(Mathematik) Potenz | t\, | { 1 \over s^2} | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | | t^{n}\, | { n! \over s^{n+1}} | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" |Potenzreihe | \sum_0^{\infty} a_n (t-t_0)^{n}\, | \sum_0^{\infty} { a_n n! \over s^{n+1}} e^{ t_0 s} | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" |Gedämpfte Potenzialfunktion | t e^{-at}\, | \frac{1}{(s+a)^2} | \operatorname{Re}(s)>-a |----- align="center" | | t^{n} e^{-at}\, | \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} | \operatorname{Re}(s)>-a |----- align="center" | | \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \cdot e^{\pm at}\, | (s \mp a)^{-n} | \operatorname{Re}(s)>-a |----- align="center" | n-te Wurzel_(Mathematik) Wurzel | \sqrt[n]{t} | s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | Sinus | \sin(at) \, | \frac{a}{s^2 +a^2} | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | Cosinus | \cos(at) \, | \frac{s}{s^2 +a^2} | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | Sinus hyperbolicus | \sinh(at) \, | \frac{a}{s^2 -a^2} | \operatorname{Re}(s)> | a | \ |----- align="center" | Cosinus hyperbolicus | \cosh(at) \, | \frac{s}{s^2 -a^2} | \operatorname{Re}(s)> | a | \ |----- align="center" | Logarithmus naturalis | \ln(at) \, | -\frac{1}{as}(\ln(\frac{s}{a})+ \gamma) | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung 0 | J_0(a t)\, | \frac{1}{ \sqrt{s^2 + a^2}}\, | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | Bessel-Funktion Modifizierte Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung 0 | I_0(a t)\, | \frac{1}{ \sqrt{s^2 - a^2}}\, | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" | Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung ''n'' | J_n(a t)\, | \frac{(\sqrt{s^2+ a^2}-s)^{n}}{ a^n \sqrt{s^2 + a^2}}\, | \operatorname{Re}(s)>0
(n > -1) \, |----- align="center" | Bessel-Funktion Modifizierte Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung ''n'' | I_n(a t)\, | \frac{( s-\sqrt{s^2- a^2})^{n}}{ a^n \sqrt{s^2 - a^2}}\, | \operatorname{Re}(s)>0
(n > -1) \, |----- align="center" | Laguerre-Polynome
der Ordnung ''n'' | L_n(a t)\, | \frac{( s-a)^{n}}{s^{n+1}}\, | \operatorname{Re}(s)>0 |----- align="center" |}

Beispiele


Beispiel: Lösung des Anfangswertproblems einer gewöhnlichen Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Zu lösen sei folgende Differenzialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation : \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(t) + \lambda f(t) = 0 mit f(0)=f_0 . Unter Ausnutzung der Linearität der Laplace-Transformation und des Verhaltens bei Ableitung im Ursprungsbereich (s. Tabelle der allgemeinen Eigenschaften) ist die Transformierte gegeben durch : (s F(s) - f_0 ) + \lambda F(s) = 0 \ \rightarrow \ F(s) = \frac{f_0}{s + \lambda} mit F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}. Die Rücktransformation in den Ursprungsbereich ist in obiger Korrespondenztabelle aufgeführt (s. Exponentialfunktion), : f(t)=f_0\ \mathcal L^{-1}\left\{\frac{1}{s+\lambda}\right\} = f_0 e^{-\lambda t} Obige Differenzialgleichung beschreibt also einfache Wachstums- und Abnahmeprozesse und findet sich demnach in vielen Bereichen, u.a. in Natur-, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften.

Literatur
*G. Doetsch, ''Einführung und Anwendung der Laplace-Transformation'', (Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe, Bd. 24) 3. Auflage, Birkäuser Verlag, Basel und Stuttgart, 1976, ISBN 3-7643-0784-6 *H. Weber, ''Laplace-Transformation für Ingenieure der Elektrotechnik'', Teubner Studienskripten, Stuttgart, 1978, ISBN 3-519-10069-X *O. Föllinger, M. Kluwe, ''Laplace-, Fourier- und z-Transformation'', Hüthig, September 2003, ISBN 3-778-52911-0 *B. Lenze, ''Einführung in die Fourier-Analysis'', Logos Verlag, Berlin, 2000, ISBN 3-931-21646-2 *W. Preuß, Funktionaltransformationen, Fourier-, Laplace- und Z-Transformationen, Hanser Fachbuchverlag, Wiesbaden, 2002, ISBN 3-446-22015-1 *M. R. Spiegel, ''Laplace-Transformationen, Theorie und Anwendung'', 450 ausführliche Lösungsbeispiele, Schaum's Outline, McGraw-Hill Book Company, 1977, ISBN 0-07-092013-3 *G. Uszczapowski, Die Laplace-Transformation, Harri Deutsch Verlag, Frankfurt, 1974, ISBN 3-871-44169-4 *H.J. Dirschmid, ''Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik'', Vieweg, Braunschweig, 1987, pp. 774-806, ISBN 3-528-13034-2 *W.E. Boyce / R.C. DiPrima, ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg Berlin Oxford, 1995, Kap. 6 ''Die Laplace-Transformation'', pp. 349-400, ISBN 3-86025-151-1

Weblinks

- http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
- http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm
- http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html
- http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html
- http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf
- http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss05/folien/Laplace.pdf
- http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=1020 Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Theoretische Elektrotechnik ar:تحويل لابلاس bg:ТранÑ?формациÑ? на ЛаплаÑ? cs:Laplaceova transformace en:Laplace transform eo:Vikipedio:Projekto matematiko/Laplaca konverto es:Transformada de Laplace fi:Laplacen muunnos fr:Transformée de Laplace gl:Transformada de Laplace he:התמרת לפלס ia:Transformation de Laplace id:Transformasi Laplace it:Trasformata di Laplace ja:ラプラス変æ?› ko:ë?¼í”Œë?¼ìŠ¤ 변환 nl:Laplacetransformatie pl:Transformata Laplace'a pt:Transformada de Laplace ru:Преобразование ЛаплаÑ?а sl:Laplaceova transformacija sr:ЛаплаÑ?ова транÑ?формација sv:Laplace-transform zh:拉普拉斯å?˜æ?¢

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